Derivasjonsregler

Kalkulus  >>  Derivasjon

 

Den deriverte av en funksjon f i et punkt x er definert ved

f'(x) = \displaystyle \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{f(x+ \triangle x)- f(x)}{\triangle x}

f ,  g  og  u  er deriverbare funkjsoner. a, b og r er konstanter.

Generelle derivasjonsregler

TYPE FUNKSJON    
DERIVERT     
 EKSEMPEL (Klikk for å se løsninger)
Linearitet a \cdot f + b\cdot g a \cdot f'+b\cdot g' (3 \cdot x^5 + 2 \cdot \sin x)' = 3 (x^5)' + 2 (\sin x)'
Produktregelen f \cdot g f' \cdot g+f \cdot g' (x^5 \cdot \sin x)' = (x^5)'\sin x + x^5 (\sin x)'
Kvotientregelen \dfrac{f}{g} \dfrac{f' \cdot g-f \cdot g'}{g^2} \left(\dfrac{x^5}{\sin x} \right)'= \dfrac{(x^5)' \sin x - x^5(\sin x)'}{(\sin x)^2}
Kjerneregelen f(u) f'(u) \cdot u' ((\sin x)^5)' = (u^5)' \cdot u',  der u=\sin x
Kjerneregelen f(u) \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \dfrac{d}{dx}(\sin x)^5 = \dfrac{d}{du}u^5 \cdot \dfrac{d}{dx} \sin x,  der u=\sin x

 

Den deriverte av spesielle funksjoner

TYPE FUNKSJON     f DERIVERT     f ' EKSEMPEL
Potenser x^r r\cdot x^{r-1} (x^5)' = 5(x^{5-1})=5x^4
Konstant a 0 (7)'=0
Sinus \sin x \cos x
Cosinus \cos x -\sin x
Tangens \tan x 1+\tan^2 x    eller    \dfrac{1}{\cos^2 x}
Eksponential e^x e^x
Logaritme \ln |x| \dfrac{1}{x}
Inverse trigonometrisk \arcsin x \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Inverse trigonometrisk \arctan x \dfrac{1}{1+x^2}}
Eksempel i tabellen:

    \[ (3 \cdot x^5 + 2 \cdot \sin x)' = 3 (x^5)' + 2 (\sin x)' = 3 \cdot 5 x^{5-1} + 2 \cdot \cos x = 15x^4+2 \cos x \]

 

Flere eksempler

Eksempel i tabellen:

    \[(x^5 \cdot \sin x)' \hspace{0.5mm} = \hspace{0.5mm} (x^5)'\sin x \hspace{0.5mm} + \hspace{0.5mm} x^5 (\sin x)' \hspace{0.5mm} = \hspace{0.5mm} 5 x^{5-1} \sin x \hspace{0.5mm} + \hspace{0.5mm} x^5 \cos x \hspace{0.5mm} = \hspace{0.5mm} 5x^4 \sin x \hspace{0.5mm} + \hspace{0.5mm} x^5 \cos x\]

 

Flere eksempler

Eksempel i tabellen:

    \[\left(\dfrac{x^5}{\sin x} \right)' \hspace{1mm} = \hspace{1mm} \dfrac{(x^5)' \sin x - x^5(\sin x)'}{(\sin x)^2} \hspace{1mm} = \hspace{1mm} \dfrac{5x^4 \sin x - x^5\cos x}{(\sin x)^2} \]

 

Flere eksempler

Eksempel i tabellen:

    \[((\sin x)^5)'\]

    \[u= \sin x, \hspace{1mm} u' = \cos x\]

    \[= (u^5)' \cdot u' \hspace{1mm} = \hspace{1mm} 5 u^{5-1} \cdot u' \hspace{1mm} = \hspace{1mm} 5 u^4 \cdot u' \hspace{1mm} = \hspace{1mm} 5(\sin x)^4 \cos x\]

 

Flere eksempler